Fondamenti della meccanica atomica
serie di Fourier al caso in cui si vuol rappresentare una funzione f(x) (non periodica) data entro un intervallo infinito. Esso si può ottenere
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Al tempo O, la distribuzione della f lungo l'asse delle x è data da
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Così, data la distribuzione iniziale della f, il teorema di Fourier ci insegna a decomporla nella sovrapposizione di infiniti treni d'onde
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Il problema delle autofunzioni, enunciato pel caso di due variabili, è il seguente: data una regione S del piano limitata da un contorno
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. Tali conferme consistono sostanzialmente in questo: data la forma, la posizione e la natura delle sorgenti e dei vari mezzi (lenti, schermi, specchi
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Similmente, dalla (84) moltiplicandola per h e ricordando che l'energia w dei fotoni è data da hv, si ha
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) un'ampiezza angolare data, secondo le leggi elementari della diffrazione, da
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D'altra parte l'incertezza su x ed y è data in questo caso dalle dimensioni dell'orbita, cioè
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II) la relazione (data dalle esperienze di diffrazione) tra lunghezza d'onda di De Broglie ed impulso delle particelle (v. § 33, p. I).
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D'altra parte, la velocità del punto data dalla meccanica classica è, per la (114),
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velocità di gruppo (v. § 14), che è data dalla (74'), che possiamo scrivere (notando che )
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dove a e b sono due costanti; l'espressione di C(v) è poi data dalla (119), che si può scrivere, usando la (120),
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'). Queste varie componenti, come si è detto, si sovrappongono sempre senza alterarsi reciprocamente, e quindi la al tempo generico t sarà data da
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posizione della particella, data da , risulta indipendente da x: ciò è in relazione col fatto che, essendosi determinato con precisione assoluta l'impulso
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(cioè il massimo si sposta con la velocità , come già si sapeva): inoltre, la precisione non è più ma data dalla (172), che, per la (163'), si può
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La u sarà data dunque da
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il che significa che tutte le particelle sono riflesse. Però la u è diversa da zero anche a destra di O, dove è data dalla (176), che si riduce a
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Dunque all'autovalore En corrisponde una v data da
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(dove è un fattore costante di normalizzazione) e quindi, per la (185), una u data da
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, in funzione del campo X, da una legge del tipo indicato. Difatti, dalla fig.. 35 risulta che la larghezza OD della barriera è data da
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con e direzione di propagazione data dal vettore k. Il fenomeno è quindi fisicamente lo stesso studiato al § 35, ma è riferito ora ad assi orientati
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Ricordando che la A della (79) è data dalla (80), si vede che si ricava dalla iniziale con la formula
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È superfluo rilevare che se la data da (213') è diversa da zero solo in una regione limitata dello spazio, essa rappresenta un pacchetto d'onde che
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dove si è posto (in analogia con la espressione della costante di Rydberg data al § 16, p. I):
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a) Oscillatore armonico. - Il momento elettrico ha in tal caso la sola componente X, data (se la particella mobile porta la carica e) da
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) delle componenti X, Y, Z del momento corrispondente ad una data riga, si possono trarre conclusioni sullo stato di polarizzazione della radiazione
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(l) Si noti che questa definizione coincide con quella già data a 1 § 4 p. II per le autofunzioni normalizzate.
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Passiamo ora a definire una funzione di più o. l. , , limitandoci (per semplicità di scrittura) al caso di due. Data una funzione sviluppabile di due
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Data un'osservabile X, e data una funzione , l'osservabile G = f(X) è definita dal seguente insieme di operazioni: eseguire l'osservazione X e sul
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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Si osservi che questa definizione, se X, Y, Z,... sono compatibili tra loro, non è in contrasto con quella data sopra per una funzione di più
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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La forma data nel § prec. al problema di Schrödinger per una sola particella suggerisce, per ovvia generalizzazione, il modo di trattare il problema
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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concludere che a un'osservabile definita come F(q) corrisponde l'operatore F(q), e a una F(p) corrisponde cioè l'operatore ottenuto dalla data funzione
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Riassumendo, il principio generale della meccanica quantistica si può enunciare così. Una volta determinato, o mediante la regola data sopra o
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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La giustificazione di questa estensione dell'equazione di Schrödinger è data dal teorema seguente che ci limitiamo ad enunciare (I) Per la
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Il metodo delle matrici, come si è detto nella parte I, è stato ideato da HEISENBERG ed è stata la prima forma data alla meccanica quantistica
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movimento del nucleo, di cui si parlerà al § 58 p. II), P. es. lo ione He+ (Z = 2) presenta una serie detta di Pickering, data da
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Quindi la seconda approssimazione degli autovalori del multipletto o del livello multiplo è data da
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L'ampiezza della probabilità di transizione dallo stato n allo stato , dopo un tempo di azione della perturbazione, ci è data dalla (230'), che
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come si verifica subito, applicando la regola del prodotto di due matrici. Conseguentemente, la densità elettrica media sarà data da
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La densità di probabilità P è data dalla (257), che, introducendo la matrice e inoltre la matrice a una riga e N colonne
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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Questa coincide con la relazione data dalla meccanica relativistica tra energia W e impulso p: prendendo il segno +, sviluppando in serie il radicale
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sistema completo di funzioni ortogonali: per avere un sistema completo si devono aggiungere le onde a energia cinetica negativa. Perciò, data
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Osserviamo anzitutto che, data la massa grandissima che ha un atomo in confronto di un elettrone, la forza viva che esso riceve dall'urto di questo è
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frequenza ben determinata, data da
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corrispondente ad una data tensione e quindi ad una data velocità. Noto λ, mediante la (29) si può poi calcolare l'indice di rifrazione μ corrispondente
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Accademia della crusca
